Continuity Equation
定义#
若给定一条Lipschitz曲线$\mu:[0,1]\rightarrow \mathcal{W}_p(\Omega)$，将满足以下条件的任意向量场$v:[0,1]\times \Omega\rightarrow \mathbb{R}^d$定义为向量场：
对几乎所有的$t\in [0,1]$，向量场$v_t=v(t,\cdot)$属于$[L^p(\mu_t)]^d$，且连续性方程$$\frac{d}{dt}\mu_t+\nabla\cdot(v\cdot \mu_t)=0$$在分布意义下成立。
也即，对于所有的$\phi\in C_c^1(\Omega)$以及任意$t_1<t_2\in [0,1]$，有 $$\int_\Omega \phi d\mu_{t_2}-\int_\Omega \phi d\mu_{t_1}=\int_{t_1}^{t_2} ds \int_\Omega \nabla\phi\cdot v_s d\mu_s$$
或使用微分形式表示为： $$\frac{d}{dt}\int_\Omega \phi d\mu_t=\int_\Omega \nabla\phi\cdot v_t d\mu_t,\text{for almost all} t\in [0,1]$$
若对几乎所有的$t$，在所有速度场中，$v_t$具有最小的$[L^p(\mu_t)]^d$范数，则称$v$是曲线$\mu_t$的切场。
向量场$v$存在的唯一性条件#
唯一性条件阐述#
若$p>1$，且$\mu=(\mu_t)_t$是$Lip([0,1];W_p(\Omega))$中的一条曲线，那么存在唯一的向量场$v$，其特征为：
- 测度演化方程
$$\frac{d}{dt}\mu_t+\nabla\cdot(v\cdot \mu_t)=0$$
- 范数约束
$$\Vert v_t\Vert_{L^p(\mu_t)}\le \vert \mu'\vert(t),\text{for a.e.}t$$
从粒子运动视角进行理解#
假设每个粒子在时刻$t$都沿着速度场$v_t$运动，那么所有粒子在$t$时刻的位置分布，就恰好是测度$\mu_t$。在数学上，可以通过常微分方程来描述粒子运动的轨迹，即
$$\sigma'(t,x)=v_t(\sigma(t,x)),\sigma(0,x)=x$$
式中，$\sigma(t,x)$描述的是初始位置为$x$的粒子，在$t$时刻的位置。初始测度$\mu_0$经过$\sigma(t,\cdot)$的推动，就得到时刻$t$的测度$\mu_t$。
与最优传输的联系#
考虑只有两个时间点$t$和$t+h$的情况，希望将测度$\mu_t$运输成$\mu_{t+h}$。
最优传输理论希望，在所有运输方式中，能最小化$\int |T(x)-x|^p \mu_t(dx)$的那一种，就是最优的。此时，这个积分的值等于$p$阶Wasserstein距离的$p$次方$W_p^p(\mu_t,\mu_{t+h})$。
若定义时刻$t$、位置$x$处粒子的离散速度为$$v_t(x)=\frac{T(x)-x}{h},$$则$v_t$的$L^p(\mu_t)$恰好是$W_p(\mu_t,\mu_{t_h})/h$。当时间步长$h\rightarrow 0$，这种离散的运输和速度，就趋近于连续的测度演化与向量场$v$。
参考#
[2]Villani, Cédric. Optimal transport: old and new. Vol. 338. Berlin: springer, 2008.